数学模型(一) 如何施救药物中毒
本文最后更新于:2023年4月15日 晚上
题目来源姜启源《数学模型 第四版》。
意在练习python的matplotlib库和使用latex进行数学公式编辑。
数学模型(一) 如何施救药物中毒
1 | 题目描述
已知条件:
- 孩子一口气服下$1100 \mathrm{mg}$药物
- 孩子有2000ml的血液
- 血药浓度达到$100\mu \mathrm{g}/\mathrm{ml}$时将出现严重中毒, 达到$200\mu \mathrm{g}/\mathrm{ml}$将致命
- 药物吸收的半衰期为5h(胃肠道浓度), 排除的半衰期为6h(血液浓度)
2 | 模型建立
记:
做出如下假设:
- 胃肠道中药物向血液系统的转移率与$\mathrm{x}\left( \mathrm{t} \right) $成正比, 比例系数记为$\lambda $, 总剂量1100mg的药物在t=0瞬间进入胃肠道
- 血液系统中药物排除率与药量$\mathrm{y}\left( \mathrm{t} \right) $成正比, 比例系数记为$\mu $, t=0时血液中无药物
根据假设1, $\mathrm{x}\left( \mathrm{t} \right) $满足微分方程:
根据假设2, $\mathrm{y}\left( \mathrm{t} \right) $满足微分方程:
其中参数$\mu $和参数$\lambda $可以由半衰期确定
3 | 模型求解
微分方程(1)是可分离变量方程, 易得
利用药物吸收的半衰期为5h的条件可知:
将方程(3)带入方程(2)得到一阶线性微分方程, 求解得:
表明血液中的药量$\mathrm{y}\left( \mathrm{t} \right) $随着t先增后减并趋于0
为了根据药物排除的半衰期6h来确定$\mu $, 考虑某时刻$\tau $有$\mathrm{y}\left( \tau \right) =\mathrm{a}$, 则
由$\mathrm{y}\left( \tau +6 \right) =\frac{\mathrm{a}}{2}$得$\mu =\frac{\ln 2}{6}=0.115525$
将$\lambda $和$\mu $的值带入(3) (5)得
4 | 作图与分析
这里使用python作图
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由图可以看出若不及时抢救, 在5h后血液中药物浓度将达到400mg
由公式(6)易得y(2)=236.5mg, 计算药量达到400mg的时间:
通过解非线性方程:
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解得t = 4.87h
同时可以求出当t = 7.89h时血液中药量达到最大, 为442.1mg
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